Kalkulator średniej ważonej: do pięciu wartości z wagami

Średnia arytmetyczna zakłada milcząco, że wszystkie składniki są równie ważne. To wygodne uproszczenie, które w praktyce jest fałszywe zaskakująco często: egzamin końcowy nie waży tyle co kartkówka, kontrakt na sto tysięcy nie waży tyle co zlecenie na tysiąc, opinia z tysiąca ocen nie waży tyle co opinia z trzech. Waga jest po prostu sposobem, żeby powiedzieć to wprost, zamiast udawać, że różnicy nie ma.

Mechanika jest krótka: każdą wartość mnożysz przez jej wagę, sumujesz iloczyny i dzielisz przez sumę wag. Ten mianownik jest tu najważniejszym elementem: to on sprawia, że skala wag nie ma znaczenia. Wagi 3, 2 i 1 dają identyczny wynik co 300, 200 i 100 albo co 50%, 33% i 17%. Liczą się wyłącznie proporcje, więc nie trzeba niczego normalizować przed wpisaniem.

Wynik zawsze mieści się między najmniejszą a największą uśrednianą wartością, o ile żadna waga nie jest ujemna. Wagi przesuwają średnią w stronę tych liczb, które ważą więcej, ale nie potrafią jej wypchnąć poza zakres danych. Jeżeli wynik wyszedł poza (na przykład średnia ocen powyżej maksymalnej oceny), błąd jest w danych albo w mianowniku, najczęściej w tym, że podzielono przez liczbę składników zamiast przez sumę wag.

Porównanie ze zwykłą średnią arytmetyczną tych samych wartości jest najszybszym sposobem, żeby zobaczyć, czy wagi w ogóle coś zmieniły i czy zmieniły to, co miały zmienić. Jeżeli różnica jest znikoma, wagi są w praktyce równe i cały zabieg nic nie wnosi. Jeżeli jest duża, warto sprawdzić, czy nie wynika z pomyłki w jednej pozycji.

Weźmy oceny 5, 4 i 3 z wagami 3, 2 i 1. Licznik to 15 plus 8 plus 3, czyli 26, mianownik to 6, więc średnia ważona wynosi 4,33. Zwykła średnia z tych samych trzech ocen to równe 4. Wagi podniosły wynik o 0,33, bo najwyższa ocena ważyła trzy razy więcej od najniższej.

Odwróćmy wagi, zostawiając te same oceny: 5 z wagą 1, 4 z wagą 2 i 3 z wagą 3. Licznik to 5 plus 8 plus 9, czyli 22, przy tym samym mianowniku 6, średnia ważona wynosi 3,67, a więc o 0,33 poniżej arytmetycznej. Te same liczby, ta sama suma wag, wynik przesunięty o dwie trzecie punktu tylko dlatego, że co innego uznano za ważne.

Najczęstszy przypadek to średnia z procentów. Marża 40% na kontrakcie za 5000 zł i marża 10% na kontrakcie za 95 000 zł nie dają średniej marży 25%. Zważone wartością kontraktów dają 2000 zł plus 9500 zł podzielone przez 100 000 zł, czyli 11,5%. Różnica jest ponad dwukrotna, a bierze się wyłącznie z tego, że jeden kontrakt jest dwadzieścia razy większy od drugiego. Ta sama pułapka dotyczy średniego oprocentowania kilku kredytów, średniej konwersji z kilku kampanii i średniego rabatu na koszyku: wszędzie tam wagą jest kwota, a nie liczba pozycji.

Drugi przypadek to średnia cena zakupu tego samego towaru kupowanego partiami po różnych cenach. Wagą jest wtedy liczba sztuk. Trzeci to oceny w systemach, w których poszczególne elementy mają przypisaną wagę: punkty ECTS, procent składowej w ocenie końcowej, udział zadania w projekcie.

Wspólna zasada brzmi: wagą jest to, czego dana wartość dotyczy. Jeżeli uśredniasz stawkę za godzinę, wagą są godziny. Jeżeli uśredniasz cenę za sztukę, wagą są sztuki. Jeżeli uśredniasz procent od kwoty, wagą jest kwota. Pomyłka w tym miejscu daje wynik, który wygląda rozsądnie i jest po prostu nieprawdziwy, a tego typu błąd rzadko rzuca się w oczy, bo liczba mieści się w oczekiwanym zakresie.

Każda średnia, ważona czy nie, sprowadza zbiór liczb do jednej i razem z resztą informacji gubi rozrzut. Dwa zestawy o identycznej średniej mogą wyglądać zupełnie inaczej: 4, 4, 4 i 2, 4, 6 mają tę samą średnią 4, choć opisują dwie różne sytuacje. Jeżeli decyzja zależy od tego, jak bardzo wartości się od siebie różnią, sama średnia nie wystarczy.

Średnia jest też wrażliwa na wartości skrajne, a wagi potrafią tę wrażliwość spotęgować. Jedna duża wartość z dużą wagą przeciąga wynik na swoją stronę i pozostałe składniki przestają mieć znaczenie. Bywa to zamierzone: tak właśnie działa uśrednianie rentowności portfela, w którym jedna pozycja jest dominująca. Bywa też przypadkowe, gdy waga została wpisana w innej jednostce niż reszta. Test jest prosty: sprawdź, ile w sumie wag zajmuje największa pozycja. Jeżeli ponad połowę, wynik jest właściwie jej wynikiem.

Warto też uważać na uśrednianie liczb, które same są już średnimi. Średnia z trzech średnich miesięcznych jest równa średniej z całego kwartału tylko wtedy, gdy miesiące mają tyle samo obserwacji, a nie mają. Poprawnym sposobem jest zważenie ich liczbą obserwacji, czyli dokładnie to, co robi ten kalkulator, jeżeli w polu wagi wpiszesz liczbę dni, transakcji albo sztuk stojących za każdą średnią.