Kalkulator CAGR: średnioroczna stopa wzrostu

Najczęstszy błąd przy liczeniu tempa wzrostu polega na dodaniu wzrostów z kolejnych lat i podzieleniu przez liczbę lat. Wynik zawsze wychodzi zbyt wysoki i zawsze jest bezużyteczny, bo nie prowadzi z wartości początkowej do końcowej.

Trzy lata: +30%, +10%, −20%. Średnia arytmetyczna to (30 + 10 − 20) ÷ 3, czyli 6,67% rocznie. Sprawdźmy ją na kwocie: 10 000 zł rosnące co roku o 6,67% dałoby po trzech latach 12 137 zł. Tymczasem faktyczny przebieg to 10 000 × 1,3 × 1,1 × 0,8 = 11 440 zł. Średnia arytmetyczna zawyża wynik o 697 zł i będzie zawyżać tym mocniej, im bardziej poszczególne lata różnią się od siebie.

CAGR na tych samych danych to pierwiastek trzeciego stopnia z 1,144 minus jeden, czyli 4,59% rocznie. Ta stopa faktycznie doprowadza 10 000 zł do 11 440 zł, bo jest średnią geometryczną, a nie arytmetyczną: mnoży, zamiast dodawać, dokładnie tak jak kapitał.

Reguła jest twarda: średnia arytmetyczna ze stóp zwrotu nigdy nie jest niższa od geometrycznej, a różnica rośnie razem ze zmiennością. Przy spokojnym szeregu obie liczby są niemal takie same. Przy szeregu, w którym są głębokie spadki, rozjeżdżają się na tyle, że decyzja podjęta na średniej arytmetycznej bywa odwrotna do właściwej.

CAGR używa dokładnie dwóch liczb z całego szeregu: pierwszej i ostatniej. Wszystko, co wydarzyło się pomiędzy, znika bez śladu. To zaleta, gdy chcesz porównać dwie inwestycje o różnej długości, i poważna wada, gdy chcesz zrozumieć, co się właściwie działo.

Dwa portfele kończące dziesiąty rok na tej samej kwocie mają identyczny CAGR, nawet jeśli jeden szedł spokojnie w górę, a drugi w trzecim roku stracił ponad połowę wartości i odrabiał to przez resztę okresu. Dla wskaźnika to ta sama inwestycja. Dla kogoś, kto musiał ten trzeci rok przeżyć, nie ta sama.

Z tej samej właściwości wynika drugi problem, znacznie łatwiejszy do wykorzystania w cudzej prezentacji: wynik zależy od wyboru punktu startowego. Wartość spada w pierwszym roku ze 100 do 80, a po czterech kolejnych latach dochodzi do 160. Licząc od początku, CAGR wynosi 9,86% rocznie. Licząc od roku, w którym było najgorzej, ten sam wzrost do tej samej kwoty daje 18,92% rocznie: prawie dwa razy więcej, przy identycznych danych.

Dlatego przy każdym CAGR-ze warto najpierw sprawdzić dwie rzeczy: od kiedy i dokąd. Jeśli okres zaczyna się w dołku albo kończy na szczycie, liczba mówi więcej o doborze dat niż o tempie wzrostu. Uczciwe zestawienie podaje CAGR dla kilku różnych okien czasowych: zgodne wyniki znaczą, że wzrost jest stabilny, rozbieżne, że nie jest.

Pierwszy przypadek to okres krótszy niż dwa lata. Dla jednego roku CAGR jest po prostu zwykłą zmianą procentową i nazywanie go średnioroczną stopą wzrostu niczego nie dodaje, poza wrażeniem, że policzono coś więcej.

Drugi to wielkości, które mogą przejść przez zero albo być ujemne: wynik, strata operacyjna, saldo. Pierwiastkowanie ilorazu wymaga dodatniej wartości początkowej i nieujemnej końcowej, więc dla zysku, który spadł poniżej zera, CAGR nie istnieje. Kalkulator pokazuje wtedy kreskę, i jest to jedyna uczciwa odpowiedź: taką zmianę opisuje się kwotą, nie procentem.

Trzeci przypadek jest najczęstszy w praktyce i najrzadziej zauważany: dopłaty i wypłaty w trakcie okresu. Jeśli w międzyczasie dokładałeś pieniądze albo je wyjmowałeś, iloraz wartości końcowej i początkowej miesza tempo wzrostu z wielkością wpłat i przestaje mierzyć cokolwiek. Do takich przypadków służy stopa zwrotu ważona przepływami, a nie CAGR z dwóch sald.

Czwarty to wielkości niemnożące się: liczba pracowników, liczba oddziałów, wielkość rynku w sztukach. Formalnie CAGR policzy się dla każdego szeregu, ale sensu nabiera tam, gdzie wzrost faktycznie nakłada się na wcześniejszy stan. Dla licznika, który po prostu rośnie o mniej więcej stałą liczbę rocznie, prostsza i bardziej informacyjna jest średnia zmiana wyrażona w jednostkach, a nie w procentach.

CAGR pojawia się najczęściej w dwóch miejscach: w prognozach wielkości rynku i w podsumowaniach wyników inwestycji. W obu przypadkach jest to jedna liczba streszczająca wiele lat, więc pytania warto zadawać zawsze te same.

Ile lat obejmuje okres, bo im krótszy, tym łatwiej trafić na sprzyjający wycinek. Czy wartości są nominalne, czy urealnione, przy kilkuletnim okresie inflacja potrafi odpowiadać za sporą część rzekomego wzrostu, a CAGR liczony z kwot nominalnych nic o tym nie mówi. I wreszcie: czy przedstawiono cały szereg, czy tylko dwa punkty, bo dopiero szereg pokazuje, czy gładka stopa opisuje gładką drogę.

Sam wskaźnik nie kłamie. Robi dokładnie to, co obiecuje: sprowadza całą trasę do jednego, stałego tempa i pozwala porównać rzeczy o różnej długości. Wystarczy pamiętać, że o ryzyku, o kolejności lat i o tym, co działo się po drodze, nie powie ani słowa: te informacje trzeba wziąć skądinąd.