Kalkulator procentu składanego

Mechanizm da się zobaczyć na trzech pierwszych latach i dalej nic nowego już się nie dzieje. Kapitał 10 000 zł przy 5% zarabia w pierwszym roku 500 zł. W drugim roku odsetki liczy się już od 10 500 zł, więc wynoszą 525 zł. Te dodatkowe 25 zł to odsetki od odsetek, i to cała tajemnica procentu składanego. W trzecim roku baza to 11 025 zł, a odsetki 551,25 zł. Przy procencie prostym wszystkie trzy lata dałyby po 500 zł, bo bazą pozostawałby kapitał początkowy.

Wynika stąd rzecz, która psuje intuicję: przez pierwszy rok obie metody dają identyczny wynik, przez kilka następnych różnią się o kwoty, które trudno uznać za ekscytujące, a potem rozjeżdżają się gwałtownie. Po pięciu latach różnica to 262,82 zł. Po trzydziestu: 18 219,42 zł, czyli więcej niż cały zysk z procentu prostego przez ten okres.

Dlatego wykresy procentu składanego są mylące, gdy patrzy się na nie z niecierpliwością. Pierwsza połowa dowolnego horyzontu wygląda na płaską i rozczarowującą; cała dramaturgia mieści się w ostatniej ćwiartce. Osoba, która przerywa oszczędzanie po pięciu latach, bo „nic z tego nie ma”, rezygnuje dokładnie przed tą częścią, dla której się zaczyna. Widać to wprost w tabeli pod wynikiem: kolumna „odsetki w roku” rośnie z każdym wierszem, choć stopa stoi w miejscu.

Skoro odsetki od odsetek dają zysk, to dopisywanie ich częściej powinno dawać go więcej. I rzeczywiście daje, ale przyrost gaśnie bardzo szybko. Przy stopie 5% i kapitale 10 000 zł przez dziesięć lat kapitalizacja roczna daje 16 288,95 zł, kwartalna 16 436,19 zł, miesięczna 16 470,09 zł, a dzienna 16 486,65 zł. Pierwszy krok, z rocznej na kwartalną, jest wart 147 zł. Krok z miesięcznej na dzienną: niecałe 17 zł.

Istnieje granica, do której to zmierza. Gdyby odsetki dopisywać nieskończenie często, wynik po dziesięciu latach wyniósłby 16 487,21 zł, a efektywna stopa roczna 5,1271%. To jest kapitalizacja ciągła i jest to ścisły sufit, którego żadna częstotliwość nie przekroczy. Od wyniku przy kapitalizacji dziennej dzieli go 56 groszy na przestrzeni dziesięciu lat. Poza matematyką finansową nie ma powodu iść dalej.

Praktyczny wniosek jest taki, że częstotliwość kapitalizacji jest właściwym kryterium wyboru dopiero wtedy, gdy stopy są identyczne. Kiedy porównujesz oferty, przelicz każdą na oprocentowanie efektywne i porównaj te liczby, bo one już zawierają w sobie informację o częstotliwości i nie wymagają dalszych poprawek.

Istnieje skrót, który pozwala policzyć czas podwojenia kapitału bez logarytmów: podziel 72 przez stopę procentową wyrażoną w procentach. Przy 5% wychodzi 14,40 roku, a dokładny wynik to 14,21 roku. Przy 7% reguła daje 10,29 roku wobec dokładnych 10,24. Przy 3%: 24 lata wobec 23,45. Przy 10%: 7,20 wobec 7,27, tym razem z niedoszacowaniem.

Reguła jest najdokładniejsza w okolicach 8% i lekko się rozjeżdża na krańcach, ale do rachunku w głowie wystarcza w zupełności. Jej prawdziwa wartość polega na tym, że pozwala natychmiast ocenić skalę propozycji. Jeżeli ktoś obiecuje podwojenie kapitału w trzy lata, mówi o stopie rzędu 24% rocznie. To pytanie warto zadać, zanim padnie jakiekolwiek inne.

Ten sam skrót działa na inflację. Przy 3% rocznie ceny podwajają się w niespełna dwadzieścia cztery lata, więc kwota odłożona na emeryturę w połowie kariery zawodowej straci po drodze mniej więcej połowę siły nabywczej. Reguła 72 jest jedynym narzędziem z tej strony, które warto pamiętać na pamięć.

Procent składany nie jest niczyim sojusznikiem: działa w stronę, w którą płyną odsetki. Po stronie długu wygląda dokładnie tak samo, tylko rośnie to, co jesteś winien.

Warto jednak wiedzieć, kiedy naprawdę występuje, bo bywa przywoływany częściej, niż działa. W normalnie spłacanym kredycie z ratą annuitetową odsetki nie kapitalizują się wcale: naliczasz je co miesiąc i co miesiąc płacisz, więc nigdy nie dołączają do kapitału. Kredyt jest drogi z powodu długiego okresu i wysokiego salda, a nie z powodu procentu składanego.

Składanie zaczyna się dopiero tam, gdzie odsetek się nie płaci. Zadłużenie na karcie kredytowej spłacane w kwocie minimalnej jest tego wzorcowym przykładem: niezapłacona część odsetek dopisuje się do salda i w kolejnym miesiącu sama jest oprocentowana. Przy nominalnych 18% i kapitalizacji miesięcznej efektywna stopa wynosi 19,56%, a dług 5000 zł, którego się nie obsługuje, rośnie w trzy lata do 8545,70 zł, a w pięć do 12 216,10 zł. Gdyby odsetki dopisywano raz w roku, po trzech latach byłoby to 8215,16 zł. Ta różnica jest kosztem samego składania.

Podobnie działa karencja w spłacie kapitału i odroczenie rat, jeśli w tym czasie odsetki są dopisywane do zadłużenia. Rok karencji przy kredycie 300 000 zł i oprocentowaniu 7,5% podnosi saldo do 323 289,78 zł, czyli dokłada 23 289,78 zł, od których przez resztę okresu również naliczane będą odsetki. Odroczenie nie jest umorzeniem i to rozróżnienie kosztuje najwięcej wtedy, gdy się o nim nie wie.